Définition :
On dit que l'idéal \(I\) est maximal dans l'anneau \(A\) si et seulement s'il est maximal dans l'ensemble des idéaux propres de \(A\) : $$\forall J\text{ idéal }\subseteq A,\quad I\subset J\implies(J=I\text{ ou } J=A)$$
(Idéal propre)
Propriétés
Caractérisation
Lemme/caractérsation :
L'idéal \(I\) est maximal si et seulement si \(A/I\) est un corps
(Corps)
Inclusion
Proposition :
Un anneau est commutatif unitaire si et seulement si tout idéal est contenu dans un idéal maximal
(Anneau commutatif, Anneau unitaire)
Existence
Proposition :
Soit \(A\) un anneau non nul
Alors \(A\) possède au moins un idéal maximal
Exemples
Exemple :
L'idéal \(n{\Bbb Z}\) est maximal si et seulement si \(n\) est premier
Exemple :
L'idéal \(P{\Bbb K}[X]\) est maximal si et seulement si \(P\) est irréductible
